temperament explorer

A impossibilidade matematica da afinacao perfeita. Ouca a diferenca.

01 — a espiral de quintas

Empilhe 12 quintas justas (3/2) partindo de Do. Voce deveria voltar ao Do, 7 oitavas acima. Mas nao volta.

(3/2)¹² = 129.746...
2⁷ = 128.000

531441 / 524288 = 23.46 cents
comma pitagorica — quase 1/4 de semitom

Clique no canvas para animar a espiral passo a passo.

02 — ouca a diferenca

Escolha um intervalo. Toque em justo (razao pura), temperado (12-TET), ou ambos para ouvir os batimentos.

intervalo selecione um intervalo

razao justa —

freq justa (Hz) —

freq temperada (Hz) —

desvio —

batimentos/seg —

03 — o compromisso

Desvio de cada intervalo temperado em relacao ao justo. Quintas sobrevivem quase intactas (~2 cents). Tercas sofrem (~14 cents). Setimas sao as piores (~17 cents).

Verde < 5 cents (inaudivel). Laranja 5-13 cents (perceptivel). Vermelho > 13 cents (claro).

04 — a matematica

O problema fundamental: nenhuma potencia de 2 e potencia de 3. Quintas (3/2) e oitavas (2/1) sao incomensuráveis.

log₂(3) = 1.58496... (irracional)

Se fosse racional, existiriam p, q inteiros tais que
2^p = 3^q
Mas 2^p e sempre par e 3^q sempre impar.
Contradicao. QED.

Equal temperament resolve com forca bruta: divide a oitava em 12 partes logaritmicamente iguais. Cada semitom = 2^1/12 = 1.05946... Nenhum intervalo e puro (exceto oitava), mas todos sao igualmente impuros. Voce pode modular para qualquer tonalidade.

Comma sintonico: 81/80 = 21.5 cents
diferenca entre terca pitagorica (81/64) e terca justa (5/4)

Comma pitagorico: 531441/524288 = 23.5 cents
erro acumulado de 12 quintas vs 7 oitavas

A historia da musica ocidental e, em parte, a historia de como distribuir esses ~23 cents de erro entre as 12 notas.